rotationが交換可能なときっす(2)

昨日の続きになるっす。
結論まで一気にやるっすね。
どうもぺんぎんっす( ◎v◎ )


昨日の記事を読んでない場合は読んでからの方が良いっすよ。
http://northernpenguin-ex.blogspot.com/2010/12/rotation.html

a * b と b * a の各要素を比較して
x要素について a.y * b.z = a.z * b.y　－①
y要素について a.z * b.x = a.x * b.z　－②
z要素について a.x * b.y = a.y * b.x　－③
ここからスタートっす。

場合分けするっす。
I　aがZERO_ROTATIONのとき
b.x、b.y、b.zの値によらず成り立つ。

II　a.x≠0 かつ a.y=0 かつ a.z=0 のとき
②より b.z=0
③より b.y=0
②または③より b.xの値によらず成り立つ。

同様にして、

a.x=0 かつ a.y≠0 かつ a.z=0 のとき

　b.x = b.z = 0 のとき、b.yの値によらず成り立つ。

a.x=0 かつ a.y=0 かつ a.z≠0 のとき

　b.x = b.y = 0 のとき、b.zの値によらず成り立つ。

III　a.x≠0 かつ a.y≠0 かつ a.z=0 のとき
②より b.z=0
　A　b.y=0 のとき
　③より b.x=0
　∴ bはZERO_ROTATION
　B　b.y≠0 のとき

　③より b.x≠0
　③の両辺を b.x * b.y で割ると
　a.x / b.x = a.y / b.y

　uを0以外の実数として a.x / b.x = a.y / b.y = u とすると

　a.x = u * b.x

　a.y = u * b.y　と書けるから

　A = (a.x, a.y, 0), B = (b.x, b.y, 0) とすると

　A = uB となる。

　∴O = (0, 0, 0)とすると、BはOA上にある

同様にして、a.x≠0 かつ a.y=0 かつ a.z≠0 のとき

a.x=0 かつ a.y≠0 かつ a.z≠0 のときも

　 bはZERO_ROTATION　または

　 BはOA上にある。

IV　a.x≠0 かつ a.y≠0 かつ a.z≠0 のとき

　A　b.z=0のとき

　①より b.y=0

　②より b.x=0

　∴ bはZERO_ROTATION

　B　b.z≠0のとき

　①より b.y≠0

　②より b.x≠0

　①の両辺を b.y * b.z で割ると

　a.y / b.y = a.z / b.z　－④

　②の両辺を b.x * b.x で割ると

　a.z / b.z = a.x / b.x　－⑤

　③の両辺を b.x * b.y で割ると

　a.x / b.x = a.y / b.y　－⑥

　④⑤⑥より uを0以外の実数として

　b.x = u * a.x

　b.y = u * a.y

　b.z = u * a.z　と書けるから

　A = (a.x, a.y, a.z), B = (b.x, b.y, b.z) とすると

　A = uB となる。

　∴O = (0, 0, 0)とすると、BはOA上にある

これで場合分けが完了っす。

キーは「BはOA上にある」、これっす。

IIもa.x = u * b.x のカタチに出来るので、これもまとめられるっす。

OAとかOBっていうのは回転軸を表すベクトルっす。

というわけで結論は

「回転軸が同じなら交換可能」

っていうのが分かったっす。

rotationが交換可能なときっす

rotationではa * b と b * a が一致しないことが多いんっすけど、

逆に一致することもあるわけっす。

どんな条件があるのか考えてみたっす。

どうもぺんぎんっす( ◎v◎ )

まず、明らかなのは

　・a = b のとき

　・b = ZERO_ROTATION / a のとき

これらは見た瞬間に分かるっすね。

他の場合が無いか、考えてみるっす。

作戦はa * b と b * a を計算して、x、y、z、sの各要素を比較するっす。

式が4本出るので、そこから考えて行くっす。

とりあえず積を出すっす。

どっちか片方書けば、もう片方はaとbを入れ替えれば良いっすね。

というわけでa * bを計算するっす。

c = a * b とすると、

c.x = a.s * b.x + a.x * b.s + a.y * b.z - a.z * b.y

c.y = a.s * b.y + a.y * b.s + a.z * b.x - a.x * b.z

c.z = a.s * b.z + a.z * b.s + a.x * b.y - a.y * b.x

c.s = a.s * b.s - a.x * b.x - a.y * b.y - a.z * b.z

s要素はaとbを入れ替えても同じになるっすね。

ということは実質3本の式になるっす。

x、y、z要素についてもaとbを入れ替えたら同じになる部分は

緑で表示しておいたっす。

比較するときに両方で出てくるので、消える部分になるっす。

a * b と b * a の各要素を比較して

x要素について a.y * b.z = a.z * b.y　－①

y要素について a.z * b.x = a.x * b.z　－②

z要素について a.x * b.y = a.y * b.x　－③

①②③を満たすようなbを選べばa * bとb * a は一致するっす。

もうちょっと変形しないと見えないっすね。